Ocena użytkowników: 0 / 5

Gwiazdka nieaktywnaGwiazdka nieaktywnaGwiazdka nieaktywnaGwiazdka nieaktywnaGwiazdka nieaktywna
 

 

W świetnej anegdotycznej książce o Richardzie Feynmanie pod tytułem „Pan raczy żartować, panie Feynman” możemy przeczytać takie oto słowa Feynmana o pracy w Los Alamos:

„...Był tam oczywiście Enrico Fermi. Przyjechał kiedyś z Chicago, żeby nam doradzić, żeby nam pomóc, jeśli mielibyśmy jakieś problemy. Zrobiliśmy spotkanie, a ja przyszedłem z wynikami pewnych obliczeń, które przeprowadziłem. Obliczenia były tak skomplikowane, że trudno było ustalić, co znaczą. Zazwyczaj byłem w tym bardzo dobry, zawsze wiedziałem jakie będą wyniki, a kiedy wyszły, potrafiłem wytłumaczyć dlaczego są takie, a nie inne. Tym razem obliczenia były tak skomplikowane, że nie potrafiłem powiedzieć, dlaczego taki wyszedł wynik. Powiedziałem Fermiemu, o co chodzi w problemie, i zacząłem mu przedstawiać wyniki. -Chwileczkę- przerwał mi. -Spróbuję wymyślić, jaki jest wynik, zanim pan mi powie. Myślę, że wynik jest taki(miał rację), co się tłumaczy tym, że… Zrobił to, w czym ja miałem się za dobrego, tylko że dziesięć razy lepiej. Trochę mi to utarło nosa.”

 

Skąd Fermi wziął prawidłowy wynik? Arystoteles powiedział kiedyś mniej więcej coś takiego: Ogarnięty człowiek zadowoli się takim poziomem poznania, na jaki pozwala natura i nie drąży tematu bez potrzeby”.  Istnieją takie problemy nauki i inżynierii, na które jest bardzo trudno odpowiedzieć albo nie ma pewnej odpowiedzi. I tu z pomocą przychodzi nam Enrico Fermi.  Fermi był mistrzem szacowania na tyle, że potrafił oszacować moc bomby w teście Trinity. Nie jest on pierwszym stosującym tę niezwykle skuteczną metodę szukania rozwiązań, natomiast jest tym, który ją skutecznie rozpropagował. Stąd grupa problemów, o których będziemy mówić zwana jest problemami Fermiego. Skoro wiemy, że problemy Fermiego wiążą się z szacowaniem rzędu wielkości poszukiwanej, a nie liczeniu dokładnej wartości przejdźmy do meritum.

 

Po co przeciętnemu człowiekowi takie umiejętności?

  1. Ma zastosowanie w życiu codziennym, w pracy i na zakupach a nawet w rozmowach o polityce.
  2. Pozwala zachować sprawność umysłu i krytycyzm względem sprzedawców bullshitu
  3. W branżach wymagających kreatywności pytania tego typu pojawiają się na rozmowach o pracę. Ważne jest nie rozwiązanie ale sposób jego poszukiwania.
  4. To popularny typ zadań w zachodnich szkołach i na uczelniach. Pozwala połączyć naukę z problemami życia codziennego. Chcesz być trendy - trenuj.

 

Oto bardziej techniczne argumenty dla pracowników technicznych i badaczy:

  1. Zgrubne sprawdzenie poprawności wyniku dokładnych obliczeń
  2. Zgrubne sprawdzenie wyników badań lub hipotezy
  3. Określanie granic parametrów w projektach inżynierskich

 

Einstein powiedział, że wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy. Tak- pod warunkiem, że to wyobrażenie opiera się na wiedzy. W przeciwnym wypadku wynik pracy będzie daleki od oczekiwanego. Najmniejsze pojęcie na temat brakującej wielkości jest lepsze niż jej wymyślenie. W latach 1930 statystycy ukuli słowo guesstimation- dobrze prezentujące połączenie szacowania z inteligentnym zgadywaniem. Co jest więc niezbędne do rozwiązywania problemów Fermiego? Po pierwsze głowa, po drugie kawałek serwetki i coś do pisania oraz po trzecie znajomość notacji naukowej. Znający notację naukową mogą pominąć tekst kursywą.

 

Notacja naukowa to zapis liczb w postaci iloczynu liczby z zakresu od 1 do 10 i odpowiedniej potęgi dziesiątki. Zapis taki jest stosowany np. w obliczeniach na kalkulatorze. Wygląda on np. tak:

2,34e5 lub 2,34E5 i jest równoważny zapisowi 2,34*105, a w notacji zwykłej to 234000. Dzięki temu liczby mieszczą się na ekranie, i nie trzeba liczyć zer żeby powiedzieć co to za liczba. Litera e bierze się od słowa exponent. Przekształcanie liczby do postaci naukowej to normalizacja.

 

Zasady przekształcania:

1. Liczby ułamkowe należy zapisać w postaci dziesiętnej, np. ½ to 0,5. Drugim krokiem jest policzenie jaki ma być wykładnik potęgi. Polega to na tym, że przesuwamy przecinek dziesiętny w prawo do momentu, aż najbardziej znacząca cyfra będzie na lewo od przecinka. Liczba przesunięć do właśnie wykładnik dziesiątki, który należy pomnożyć przez -1 czyli po prostu dopisać minus przed nim. Na przykład 0,5 to 5*10-1 lub 5e-1, 0,001 to (1*)10-3 lub 1e-3.

2. Liczby z zakresu 1-9 zapisujemy bez wykładnika pamiętając, że nie można ich pominąć w obliczeniach. Poprawny zapis naukowy to np. dla 5=5e0, bo 100=1, a 5x1=5.

3. Dla liczb większych od 9 należy policzyć ile cyfr znajduje się w części całkowitej. Liczba cyfr pomniejszona o jeden to właśnie wykładnik dziesiątki, np. 250000 to 2,5*105 lub 2,5e5. Liczby z ułamkami takie jak np. 1000,2345 to 1,0002345e3, bo w części całkowitej są tylko cztery cyfry.

4. Liczby ujemne przerabiamy dokładnie tak samo pamiętając o pozostawieniu znaku przed liczbą.

5. (Wartości liczb z częścią ułamkową można zaokrąglać do pierwszej całości co znacznie usprawni szacowanie.)

 

Skoro już wiemy jak wykonać przekształcenie do notacji naukowej napiszę dlaczego to robimy. Spróbujmy pomnożyć przez siebie dwie duże okrągłe liczby np. 50000 i 200000. Sprawa jest prosta. Komplikuje się kiedy trzeba wykonać wiele obliczeń po kolei. W zapisie naukowym trzeba pamiętać po dwie wartości dla każdej liczby, korzystanie z serwetki bywa pomocne. Najważniejsze jest to, że zamiast mnożyć wielkie liczby mnożymy tylko ich cechy (te liczby z zakresu 1-9), a wykładniki dodajemy. Dzięki temu omijamy mnożenie wielocyfrowych liczb i korzystamy z tabliczki mnożenia do 100. Jeżeli nasz wynik przekracza 9 to możemy go jeszcze raz znormalizować. Jeżeli wykładnik jest ujemny (liczby ułamkowe) to zamiast dodawać po prostu odejmujemy go od wykładnika drugiej liczby, odejmowanie stosujemy również przy dzieleniu przez liczby o wykładniku dodatnim.

 

Jak można zacząć? Jak najszybciej, a najlepiej od dziecka. Na początku rozwiązując proste pytania, na które łatwo znaleźć odpowiedź, stopniowo przechodząc do coraz trudniejszych.

W problemach Fermiego nie szukamy dokładnej wartości ale znajdującej się w zakresie 0,1 - 10 razy względem wartości prawdziwej czyli o wykładniku ±1 względem tej wartości. Możemy w tym celu zaokrąglać liczby do pełnych potęg 10. Liczby mniejsze lub równe 5 zaokrąglamy w dół, a większe w górę. Wartym odnotowania jest fakt, że pomimo tak dużych zaokrągleń wynik zwykle mieści się w założonych granicach. Dzieje się tak, ponieważ błędy zaokrągleń wzajemnie się wygaszają. Podczas szukania odpowiedzi dobrze jest dokonać oszacowania co najmniej dwoma różnymi drogami. Zwiększa to pewność otrzymania poprawnego wyniku.

 

Jak rozwiązać problem Fermiego:

  1. Nie panikuj.
  2. Zapisz wszystko co wiesz o problemie, wszelkie dane liczbowe są mile widziane.
  3. Określ drogę lub kilka dróg do uzyskania wyniku. Przydatny może być diagram Ishikawy (rybi szkielet) dla wykonywanych operacji- wielkości mnożone możesz umieścić na górze szkieletu a dzielniki na dole.
  4. Trzymaj się przyjętych założeń.
  5. Upraszczaj wielkości przez zaokrąglanie.
  6. Dla problemów geometrycznych wybieraj geometrię wygodną do otrzymania wyników.
  7. Stosuj „uczone” zgadywanie do określenia wielkości których nie znasz. W miarę możliwości używaj dobrze znanych wielkości. Określ chociaż dolną i górną granicę i trzymaj się tych wartości. Dla określonych granic możesz wyznaczyć przybliżoną średnią geometryczną (AGM). Bierzesz dwie wielkości graniczne zapisane w notacji naukowej. Następnie obliczasz średnią cech oraz średnią wykładników dziesiątki. Na przykład liczba 2 to 2e0, 400 to 4e2. Średnia 2 i 4 to 3, średnia 0 i 2 to 1. Przybliżona średnia geometryczna to 3e1 czyli 30. Jeżeli otrzymana średnia wykładników jest liczbą ułamkową np. 1,5; to zaokrąglasz ją w dół, a wartość cechy mnożysz razy 3. Na przykład AGM z 20 i 400: 2e1 i 4e2 daje 3e1,5. Wykładnik 1,5 zaokrąglasz w dół do 1, a cechę mnożysz razy 3 więc 3x3e1=9e1 czyli 90.
  8. Tam, gdzie to możliwe skracaj nieznane czynniki, żeby się ich pozbyć i uzyskać bezwymiarowy parametr o wartości, której możesz być pewien.
  9. Do szacowania nieznanej wartości stosuj liniową skalę interpolacji i ekstrapolacji.
  10. Zawsze sprawdzaj, czy końcowy wynik ma właściwy wymiar fizyczny [jednostkę].
  11. Porównuj wynik ze znanymi ograniczeniami i prawami. Jeżeli łamie prawa fizyki to zapewne jest błędny.
  12. Sprawdzaj czy wyniki uzyskane różnymi drogami mają ten sam rząd wielkości.
  13. Bardziej ilościowe szacowanie (granic) możesz uzyskać poprzez umieszczanie największych wartości szacowanych składowych w liczniku a najmniejszych w mianowniku dla górnej granicy i na odwrót dla granicy dolnej.

 

Pułapki czyhające na nieostrożnych:

  1. Myślenie życzeniowe - nie należy myśleć co chcemy otrzymać ale jakie mamy składowe.
  2. Uogólnianie - przyjmowanie wielkości nadzbioru zbioru, którego cechy nas interesują powoduje przeszacowanie
  3. Nieliniowość szacowanej cechy, wysokie potęgi składowej

 

W tym temacie to już wszystko- poza jednym. Bardzo znanym problemem Fermiego jest paradoks Fermiego, ale to już temat na inną historię.

Więcej o problemach Fermiego znajdziecie m. in. tutaj:

  1. NASA
  2. TED
  3. www.fermiquestions.com
  4. „Guesstimation: solving the world's problems on the back of a cocktail napkin, L. Weinstein & J.A.Adam, Princeton University Press
  5. YT